Page 1 of 1

Уравнение состояния скалярного вакуума

New postPosted: Thu 20 Sep 2018 00:05
by Airat_Kamaletdinov
Здравствуйте, Максим Юрьевич. Не до конца понял, куда нужно выкладывать домашние задания - в отдельный топик или в тему с лекциями.
Высылаю свой вариант решения задачи

Re: Уравнение состояния скалярного вакуума

New postPosted: Fri 21 Sep 2018 17:01
by Maxim Khlopov
Dear Airat,
Thank you for attempt to solve the task, but unfortunately you give a wrong answer. Please find your mistake and put correct answer in reply to this post. Please, make your choice of topic for your referat and put the title of your referat and then its drafts in a separate post "Referat and Exam of Airat Kamaletdinov' and post replies. It will be a platform for our work on your referat
With the best regards
M.Yu.Khlopov

Re: Уравнение состояния скалярного вакуума

New postPosted: Tue 25 Sep 2018 21:34
by Airat_Kamaletdinov
Я забыл явно указать в уравнении Клейна-Гордона что вакуумное значение плотности энергии поля не нулевое.
При нулевом значении такого уравнения состояния не получится.

Вот исправленный вариант. (Только рисунок случайно нарисовал таким, будто минимальная энергия равна нулю - на самом деле там отсчет от лямбда начинается)

Re: Уравнение состояния скалярного вакуума

New postPosted: Wed 26 Sep 2018 23:32
by Maxim Khlopov
Dear Airat,
Lamba is not present in the theory of classical homogeneous massive scalar field.
The correct form of relationship between energy density and pressure should give you vacuum equation for small t as compared with period of field oscillations (1/m) and p=0 for this relationship averaged over oscillations at t>>1/m
Please get this result.
With the best regards
M.Yu.Khlopov

Re: Уравнение состояния скалярного вакуума

New postPosted: Thu 27 Sep 2018 08:33
by Airat_Kamaletdinov
А вы не могли бы подсказать, почему неверно это вычисление? Лямбда - это значение минимума потенциала.
Его приходится указывать явно, поскольку я не использую вторичное квантование полей. При использовании вторичного квантования необходимость в лямбде исчезает, поскольку минимум энергии поля становится равен 1/2 * hv, а не ноль - это можно показать, написав оператор гамильтона через операторы рождения и уничтожения.

Я воспользовался самым примитивным случаем скалярного поля - взял уравнение Клейна-Гордона, в качестве потенциала выбрал так же самый примитивный потенциал, имеющий минимум, но не нулевой. И получил уравнение состояния для вакуума этого поля, которое как раз при подстановке в уравнение Фридмана даст экспоненциально быстрое расширение вселенной.

Я еще подумаю, что нужно изменить, чтобы данное уравнение состояния получалось при наложении сказанных Вами условий

Re: Уравнение состояния скалярного вакуума

New postPosted: Thu 27 Sep 2018 10:55
by Maxim Khlopov
Thank you for interesting arguments related with quantum effects in fields. However, the problem should be reduced to analysis of energy-momentum tensor of classical homogeneous (independent on r) but time dependent massive scalar field.
You should simply take into account that the solution for this classical field is constant amplitude multiplied by cos(mt) and find relationship between epsilon and p in the limits of large and small t.
If you find troubles in this analysis, I'll make you photos of the corresponding pages of our book with S.G.Rubin (probably it is not available in the MIFI library)
With the best regards
M.Yu.Khlopov

Re: Уравнение состояния скалярного вакуума

New postPosted: Tue 22 Jan 2019 04:43
by Airat_Kamaletdinov
Последний вариант решения. Суть все та же, однако на этот раз решение приближенное. Я использовал требование t<<1/m и разложил осцилирующее поле по степеням малости при данном приближении, а затем просто пренебрег малыми членами. const в описываемом решении вообще говоря может быть равно и нулю - оно там просто для общности. Если const равно нулю, решение не поменяется, т.к. C=1+const. в приближении что t<<1/m. То есть уравнение сотсояния останется прежним.

Можно было записать решение и в более общем виде - то есть использовать общий вид формулы тейлора ввиде суммы производных. От этого суть снова не меняется - точно так же пренебрегали бы малыми членами и оставался бы толкьо первый член разложения, равный единице.

Больше не знаю, что здесь можно предложить

Re: Уравнение состояния скалярного вакуума

New postPosted: Tue 22 Jan 2019 04:54
by Maxim Khlopov
Thank you. In fact, you could use the general expression, which give you p=-epsilon, for t<<1/m and p=0 averaged on period of oscillations at t>>1/m.
With the best regards
M.Yu.Khlopov

Re: Уравнение состояния скалярного вакуума

New postPosted: Tue 22 Jan 2019 05:06
by Airat_Kamaletdinov
При больших t усредненое значение поля в решении будет давать 0
Это можно показать проинтегрировав и усреднив косинус влоб.
Тогда если const не равно нулю, то снова получим требуемое уравнение состояния.

Re: Уравнение состояния скалярного вакуума

New postPosted: Tue 22 Jan 2019 05:09
by Maxim Khlopov
Yes, thank you